Question

15．已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：
（1）△CDE≌△DBF；
（2）OA=OD．

Answer 1

分析 （1）根据三角形中位线，可得DF与CE的关系，DB与DC的关系，根据SAS，可得答案；
（2）根据三角形的中位线，可得DF与AE的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案．

解答 证明：（1）∵DE、DF是△ABC的中位线，
∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC．
∵DF∥CE，
∴∠C=∠BDF．
在△CDE和△DBF中$\left\{\begin{array}{l}{DC=BD}\\{∠C=∠BDF}\\{CE=DF}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△DBF  （SAS）；
（2）∵DE、DF是△ABC的中位线，
∴DF=AE，DF∥AE，
∴四边形DEAF是平行四边形，
∵EF与AD交于O点，
∴AO=OD

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）利用了三角形中位线的性质，全等三角形的判定；（2）利用了三角形中位线的性质，平行四边的性的判定与性质．