Question

15．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，点D在边AC上，连接BD，过A作BD的垂线交BD的延长线于点E．
（1）若M，N分别为线段AB，EC的中点，如图1，求证：MN⊥EC；
（2）如图2，过点C作CF⊥EC交BD于点F，求证：AE=2BF；
（3）如图3，以AE为一边作一个角等于∠BAC，这个角的另一边与BE的延长线交于P点，O为BP的中点，连接OC，求证：OC=$\frac{1}{2}$（BE-PE）．

Answer 1

分析 （1）连接EM、CM，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EM=CM；再由等腰三角形三线合一的性质得
出结论；
（2）证明△AEC∽△BFC，得$\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{BF}$，由AC=2BC得AE=2BF；
（3）证明△ACB∽△AEP，得$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{EP}$，从而知道AE=2PE，由AE=2BF得PE=BF；根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得OC=$\frac{1}{2}$EF，代入得结论．

解答 证明：（1）如图1，连接EM、CM，
∵AE⊥BE，M是AB的中点，
∴EM=$\frac{1}{2}$AB，CM=$\frac{1}{2}$AB，
∴EM=CM，
∵N是EC的中点，
∴MN⊥EC；
（2）如图2，∵∠ECF=90°，∠ACB=90°，
∴∠ECA+∠ACF=90°，∠ACF+∠FCB=90°，
∴∠ECA=∠FCB，
∵∠CFB=∠ECF+∠CEF=90°+∠CEF，
∠AEC=∠AEB+∠CEF=90°+∠CEF，
∴∠CFB=∠AEC，
∴△AEC∽△BFC，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{BF}$，
∵AC=2BC，
∴AE=2BF；
（3）如图3，∵∠AEP=∠ACB=90°，∠BAC=∠PAE，
∴△ACB∽△AEP，
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{EP}$，
∵AC=2BC，
∴AE=2PE，
∵AE=2BF，
∴PE=BF，
∵O为BP的中点，
∴PO=BO，
∴EO=FO，
∴CO=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$（BE-BF）=$\frac{1}{2}$（BE-PE）．

点评 本题是三角形的综合题，考查了全等三角形、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的对应边相等得出两边的倍数关系；同时，在直角三角形中，如果有斜边上的中线，可以运用斜边上的中线性质得出两边之间的倍数关系；对于证明垂直的关系除了利用角的大小来证明外，也可以利用等腰三角形的三线合一来证明．