Question

如图，点P是正方形ABCD边AB上的一点（不与A、B重合），连接PD，并将线段PD绕点P顺时针旋转得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE、DF，∠CBE=45°，求证：DP⊥PE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：在AD上取点Q使得AQ=AP，可得DQ=BP，∠DQP=∠PBE，根据余弦定理可得PQ=BE，即可证明△DPQ≌△PEB，可得∠PDQ=∠BPE，即可求得∠BPE+∠DPA=90°，即可解题．

解答：证明：在AD上取点Q使得AQ=AP，

则∠AQP=45°，DQ=BP，∴∠DQP=135°，
∵∠CBE=45°，∴∠PBE=135°，
∵在△DPQ中，DP²=DQ²+PQ²-2PQ•DQcos∠DQP，
在△PBE中，PE²=PB²+BE²-2PB•BEcos∠PBE，
∴PQ=BE，
∵在△DPQ和△PEB中，

PD=PE BP=DQ PQ=BE

，
∴△DPQ≌△PEB，（SSS）
∴∠PDQ=∠BPE，
∵∠PDQ+∠DPA=90°，
∴∠BPE+∠DPA=90°，
∴∠DPE=90°，
∴DP⊥PE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，考查了三角形中余弦定理的运用，本题中求证△DPQ≌△PEB是解题的关键．