Question

如图，半径为1的⊙O的内接△ABC，∠ACB=45°，∠AOC=150°，作CD交AB的延长线于点D，且CD=BC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：综合题

分析：（1）连接OB，利用圆周角定理得到∠AOB为直角，即三角形AOB为等腰直角三角形，根据∠AOC-∠AOB求出∠BOC=60°，得到三角形BOC为等边三角形，进而求出∠ABC度数，再由CB=CD，利用等边对等角求出∠DCB=30°，得到∠OCD为直角，即可得证；
（2）过O作OM垂直于AC于M，利用三线合一得M为AC中点，OM为角平分线，在直角三角形AOM中，利用锐角三角函数定义求出AM的长，即可确定出AC的长．

解答：（1）证明：连接OB，
∵∠ACB与∠AOB都对

AB

，∠ACB=45°，
∴∠AOB=90°，即△AOB为等腰直角三角形，
∵∠AOC=150°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BCO=60°，
∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=105°，即∠CBD=75°，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=75°，即∠DCB=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠DCB=90°，即OC⊥CD，
则CD为圆的切线；

（2）解：过O作OM⊥AC于M，
∵OA=OC，
∴M为AC中点，OM平分∠AOC，
即AM=CM，∠AOM=∠COM=75°，
∵sin75°=sin（45°+30°）=

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

=

6 + 2

4

，
∴sin∠AOM=

AM

OA

，即AM=OAsin∠AOM=1×

6 + 2

4

=

6 + 2

4

，
则AC=2AM=

6 + 2

2

．

点评：此题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．