Question

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°，⊙P₁是△OAB的内切圆，且P₁的坐标为（3，1），则OB的长为5．

Answer 1

分析 （1）如图设切点分别为E、Q、H，连接P₁H，P₁Q，P₁E．则P₁H⊥OB，P₁Q⊥AO，P₁E⊥AB，根据圆的切线性质和切线长定理得到P₁H=P₁Q=P₁E=1，OQ=OH=3，BH=BE，易得四边形AQP₁E为正方形，则AQ=AE=P₁Q=1，所以AO=4，然后利用勾股定理可计算出BH=2，从而可计算出OB=5；

解答 解：如图设切点分别为E、Q、H，连接P₁H，P₁Q，P₁E．
则P₁H⊥OB，P₁Q⊥AO，P₁E⊥AB．
∵⊙P₁是△OAB的内切圆，且P₁的坐标为（3，1）．
∴P₁H=P₁Q=P₁E=1，OQ=OH=3，BH=BE，
∵∠OAB=90°，
∴四边形AQP₁E为正方形，
∴AQ=AE=P₁Q=1，
∴AO=OQ+AQ=3+1=4，
在Rt△ABO中，OB²=OA²+AB²，
∴（3+BH）²=4²+（1+BH）²，解得BH=2，
∴OB=OH+BH=3+2=5；
故答案为5．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练运用圆的切线性质和切线长定理进行几何证明；会运用勾股定理进行几何计算；常用三角形全等解决线段相等的问题．