Question

5．如图，已知锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于点H，BC=a，AC=b，AB=c．求证：AH•AD+BH•BE+CH•CF=$\frac{1}{2}$（a²+b²+c²）．

Answer 1

分析 因H为△ABC垂心，故H、D、C、E四点共圆，根据切割线定理即可求解．

解答 证明：∵锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于点H，
∴∠CEH+∠CDH=180°，
∴H、D、C、E四点共圆，
∴AH•AD=AC•AE=AC•AB•cos∠BAE=$\frac{1}{2}$（b²+c²-a²），
同理可得：BH•BE=$\frac{1}{2}$（a²+c²-b²），CH•CF=$\frac{1}{2}$（a²+b²-c²），
故AH•AD+BH•BE+CH•CF=$\frac{1}{2}$（a²+b²+c²）．

点评 本题主要考查了切割线定理以及三角形边角关系，理解H、D、C、E四点共圆是解决本题的关键．