Question

如图，已知A（a，m）、B（2a，n）是反比例函数y=

k

x

（k＞0）与一次函数y=-

4

3

x+b图象上的两个不同的交点，分别过A、B两点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB，若已知1≤a≤2，则求S_△OAB的取值范围．

Answer 1

考点：反比例函数系数k的几何意义

专题：

分析：先根据函数图象上点的坐标特征得出m=

k

a

，n=

k

2a

，

k

a

=-

4

3

a+b，

k

2a

=-

8

3

a+b，于是k=

8

3

a²，再由反比例函数系数k的几何意义可知S_△OAC=S_△OBD，那么S_△OAB=S_△OAC-S_△OBD+S_梯形ABDC=S_梯形ABDC=2a²，根据二次函数的性质即可求解．

解答：解：∵A（a，m）、B（2a，n）在反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象上，
∴m=

k

a

，n=

k

2a

，
∵A（a，m）、B（2a，n）在一次函数y=-

4

3

x+b图象上，
∴

k

a

=-

4

3

a+b，

k

2a

=-

8

3

a+b，
解得：k=

8

3

a²，
∴S_△OAB=S_△OAC-S_△OBD+S_梯形ABDC
=S_梯形ABDC
=

1

2

（

k

2a

+

k

a

）（2a-a）
=

1

2

×

3k

2a

×a
=

3

4

k
=

3

4

×

8

3

a²
=2a²．
当1≤a≤2时，S_△OAB=2a²，随自变量的增大而增大，此时2≤S_△OAB≤8．

点评：本题考查了函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，梯形的面积，二次函数的性质，综合性较强，难度适中．