Question

直线y=

3

x+

3

交x轴于A，交y轴于B，将这条直线绕某点顺时针旋转90°且M、N分别为A、B的对应点（M、N在第一象限），直线MN交y轴于C，且S_△BCM=S_△BMN，双曲线y=

k

x

过M、N两点，则k=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：过M、N点分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为E、H、F、Q，ME与NQ交与T点，两垂线的交点为P，直线AB绕某点顺时针旋转90°交x轴于K点，先求出A（-1，0），B（0，

3

），利用勾股定理得到AB=2，则∠OAB=60°，∠OBA=30°，而∠KPA=90°，可得到∠MNT=30°，再利用旋转的性质得到MN=AB=2，则MT=1，NT=

3

，设M点坐标为（a，b），则N点坐标为（a+

3

，b-1），根据反比例函数图象上点的坐标特点得到k=ab=（a+

3

）（b-1），即a-

3

b+

3

=0①，又S_△BCM=S_△BMN，则CM=MN，
得到MH为△CQN的中位线，所以MH=

1

2

NQ，即a=

1

2

（a+

3

），解得a=

3

，易求得b=2，于是k=ab=2

3

．

解答：解：过M、N点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、H、F、Q，ME与NQ交与T点，两垂线的交点为P，直线AB绕某点顺时针旋转90°交x轴于K点，如图所示
对于y=

3

x+

3

，令x=0，则y=

3

；令y=0，则

3

x+

3

=0，解得x=1，即A（-1，0），B（0，

3

），AB=

OA2+OB2

=2，
则∠OAB=60°，∠OBA=30°，
∵∠KPA=90°，
∴∠PKA=30°，
∴∠MNT=30°，
∵直线AB绕某点顺时针旋转90°且M、N分别为A、B的对应点，
∴MN=AB=2，
∴MT=OA=1，NT=OB=

3

，
设M点坐标为（a，b），则N点坐标为（a+

3

，b-1），
∵双曲线y=

k

x

过M、N两点，
∴k=ab=（a+

3

）（b-1），即a-

3

b+

3

=0①，
∵S_△BCM=S_△BMN，
∴CM=MN，
∴MH=

1

2

NQ，即a=

1

2

（a+

3

），解得a=

3

，
把a=

3

代入①得

3

-

3

b+

3

=0，
∴b=2，
∴k=ab=2

3

．
故答案为2

3

．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象上点的横纵坐标的积为定值；旋转的性质要熟练运用；勾股定理和含30°的直角三角形三边的关系在几何计算中常用到．