如图.在平面直角坐标系中.二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A.B两点.B点的坐标为(3.0).与y轴交于点C.点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．(1)求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．(2)连接PO.PC.并将△POC沿y轴对折.得到四边形POP′C.如果四边形POP′C为菱形.求点P的坐标．(3)如果点P在运动过程中.能使得以P.C.B为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，-3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．
（1）求这个二次函数y=x²+bx+c的解析式．
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形，求点P的坐标．
（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．

分析（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相垂直平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）分类讨论：①当∠PCB=90°，根据互相垂直的两条直线的一次项系数互为负倒数，可得BP的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；根据勾股定理，可得BC，CP的长，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；
②当∠BPC=90°时，根据相似三角形的性质，可得P点的坐标，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案．

解答解：（1）将B、C点代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
这个二次函数y=x²+bx+c的解析式为y=x²-2x-3；
（2）四边形POP′C为菱形，得
OC与PP′互相垂直平分，得
y_P=$\frac{OC}{2}$-$\frac{3}{2}$，即x²-2x-3=-$\frac{3}{2}$，
解得x₁=$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，x₂=$\frac{2-\sqrt{10}}{2}$（舍），P（$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）；
（3）∠PBC＜90°，
①如图1，
当∠PCB=90°时，过P作PH⊥y轴于点H，
BC的解析式为y=x-3，CP的解析式为y=-x-3，
设点P的坐标为（m，-3-m），
将点P代入代入y═x²-2x-3中，
解得m₁=0（舍），m₂=1，即P（1，-4）；
AO=1，OC=3，CB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，CP=$\sqrt{{1}^{2}+（-4+3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
此时$\frac{BC}{OC}$=$\frac{CP}{AO}$=3，△AOC∽△PCB；
②如图2，
当∠BPC=90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D，
BC的解析式为y=x-3，CP的解析式为y=$\frac{\sqrt{5}-3}{2}$x-3，
设点P的坐标为（m，m²-2m-3），
由K_cp•K_pb=-1，得m=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍去）
此时，$\frac{PC}{BP}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$≠$\frac{CO}{AO}$=3，
以P、C、B为顶点的三角形与△AOC不相似；
综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，-4）．