Question

8．已知x、y、z均是非负实数，且满足x+3y+2z=3，3x+3y+z=4，则3x-2y+4z的最大值为7，最小值为-$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 设M=3x-2y+4z．根据关系式x+3y+2z=3与3x+3y+z=4求出y和z与x的关系式，又因x、y、z均为非负实数，求出x的取值范围，于是可以求出M的最大值和最小值．

解答 解：设M=3x-2y+4z．
由题意，得
$\left\{\begin{array}{l}{x+3y+2z=3}\\{3x+3y+z=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{5}{3}（1-x）}\\{z=2x-1}\end{array}\right.$，
代入M的表达式中得，
M=3x-2y+4z=3x-$\frac{10}{3}$（1-x）+4（2x-1）=$\frac{43}{3}$x-$\frac{22}{3}$，
又因x、y、z均为非负实数，
所以$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{\frac{5}{3}（1-x）≥0}\\{2x-1≥0}\end{array}\right.$，
即$\frac{1}{2}$≤x≤1，
当x=$\frac{1}{2}$时，M有最小值为-$\frac{1}{6}$，
当x=1时，M有最大值为7．
故答案是：7；-$\frac{1}{6}$．

点评 本题主要考查函数最值问题的知识点，解答本题的关键是把y和z用x表示出来，此题难度不大．