Question

7．如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=$\frac{1}{2}$BD，DF⊥AB于F，AE，BC的延长线相交于点G．求证：CD=DF．

Answer 1

分析 利用已知条件易证△ACG≌△BCD，所以AG=BD，AE=$\frac{1}{2}$BD，进而可证明CD=DF．

解答 证明：∵∠ACB=90
∴∠ACG=∠ACB=90°，AC⊥BC，∠CBD+∠CDB=90°
∵AE⊥BD
∴∠BEA=∠BEG=90°
∴∠CAG+∠ADE=90°
∵∠CDB=∠ADE
∴∠CBD=∠CAG，
在△ACG和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACG=∠ACB}\\{AC=BC}\\{∠CBD=∠CAG}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△BCD （ASA），
∴AG=BD
∵AE=1/2BD
∴AE=1/2AG
∴点E是AG的中点，
∴AE=GE
在△ABE和△GBE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=GE}\\{∠BEA=∠BEG}\\{EB=EB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△GBE （SAS），
∴∠ABE=∠GBE，
∵DF⊥AB   AC⊥BC
∴CD=DF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．