Question

10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点P是$\widehat{AB}$的中点，连接PA，PB，PC． 
（1）如图①，若∠BPC=60°，求证：AC=$\sqrt{3}$AP；
（2）如图②，若sin∠BPC=$\frac{24}{25}$，求tan∠PAB的值．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得到∠BAC=∠BPC=60°，加上AB=AC，可判断△ABC为等边三角形，所以∠ACB=60°，再由点P是弧AB的中点得∠ACP=∠BCP=30°，接着可判断△APC为直角三角形，然后根据∠APC的正切即可得到AC=$\sqrt{3}$AP；
（2）连接AO并延长交PC于F，交BC于E，过点E作EG⊥AC于G，连接OC，如图，根据垂径定理和等腰三角形的性质得AF⊥BC，BF=CF，再根据角平分线性质得EG=EF．接着由圆周角定理得∠BPC=∠BAC=∠FOC，则sin∠FOC=sin∠BPC=$\frac{24}{25}$，于是设FC=24a，则OC=OA=25a，所以OF=7a，AF=25a+7a=32a，在Rt△AFC中利用勾股定理计算出AC=40a，接着证明△AEG∽△ACF，利用相似比得$\frac{EG}{24a}$=$\frac{32a-EG}{40a}$，解得EG=12a，然后在Rt△CEF中，可得tan∠ECF=$\frac{EF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，再利用圆周角定理易得tan∠PAB=tan∠PCB=$\frac{1}{2}$．

解答 （1）证明：∵弧BC=弧BC，
∴∠BAC=∠BPC=60°，
又∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵点P是弧AB的中点，
∴$\widehat{PA}$=$\widehat{PB}$，
∴∠ACP=∠BCP=30°，
而∠APC=∠ABC=60°，
∴△APC为直角三角形，
∴tan∠APC=$\frac{AC}{AP}$，
∴AC=APtan60°=$\sqrt{3}$AP；
（2）解：连接AO并延长交PC于F，交BC于E，过点E作EG⊥AC于G，连接OC，如图，
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，
∴BF=CF，
∵点P是弧AB中点，
∴∠ACP=∠PCB，
∴EG=EF．
∵∠BPC=∠BAC=∠FOC，
∴sin∠FOC=sin∠BPC=$\frac{24}{25}$，
设FC=24a，则OC=OA=25a，
∴OF=7a，AF=25a+7a=32a，
在Rt△AFC中，∵AC²=AF²+FC²，
∴AC=40a，
∵∠EAG=∠CAF，
∴△AEG∽△ACF，
∴$\frac{EG}{CF}$=$\frac{AE}{AC}$，即$\frac{EG}{24a}$=$\frac{32a-EG}{40a}$，解得EG=12a，
在Rt△CEF中，tan∠ECF=$\frac{EF}{FC}$=$\frac{12a}{24a}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠PAB=∠BCP，
∴tan∠PAB=tan∠PCB=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等边三角形的判定与性质和解直角三角形．