Question

19．如图，∠MAN=90°，点B、C分别在射线AN、AM上，连接BC，作BP平分∠CBN，作CD⊥BP于点D，连接AD，已知AB=3．
（1）若∠ACB=30°，则CD=3$\sqrt{3}$；
（2）求证：AD=CD；
（3）作AE平分∠MAN交BP于点E，若AC=4，求线段DE的长度．

Answer 1

分析 （1）由含30°角的直角三角形的性质得出BC=2AB=6，∠ABC=60°，求出∠CBD=∠NBP=60°，证出∠ACB=∠CBD，由角平分线的性质和勾股定理即可得出答案；
（2）证明A、B、D、C四点共圆，由圆周角定理得出∠CBD=∠CAD，∠NBP=∠DCA，由∠CBD=∠NBP，得出∠DCA=∠CAD，即可得出结论；
（3）由三角形的外角性质证出∠AEB=∠DAE，得出DE=AD=CD，设BF=x，作DE⊥AC于E，DF⊥AN于F，则DF=AE=$\frac{1}{2}$AC=2，由勾股定理求出BC=5，证明△BCD∽△BDF，得出BD²=BC•BF=5x，再由勾股定理得出方程，解方程求出x，即可得出结论．

解答 （1）解：∵∠ACB=30°，∠MAN=90°，AB=3，
∴BC=2AB=6，∠ABC=60°，
∴∠CBN=180°-60°=120°，
∵BP平分∠CBN，
∴∠CBD=∠NBP=60°，
∴∠ACB=60°=∠CBD，
∵CD⊥BP，∠MAN=90°，
∴CD=CA=$\sqrt{3}$AB=3$\sqrt{3}$；
故答案为：3$\sqrt{3}$；
（2）证明：∵∠CDB=∠MAN=90°，
∴∠CDB+∠MAN=180°，
∴A、B、D、C四点共圆，
∴∠CBD=∠CAD，∠NBP=∠DCA，
∵∠CBD=∠NBP，
∴∠DCA=∠CAD，
∴AD=CD；
（3）解：∵AE平分∠MAN，∠MAN=90°，
∴∠MAE=∠NAE=45°，
∵∠NBE=∠BAE+∠AEB，∠DAC=∠MAE+∠DAE，
∴∠AEB=∠DAE，
∴DE=AD=CD，
设BF=x，作DE⊥AC于E，DF⊥AN于F，
则DF=AE=$\frac{1}{2}$AC=2，
∵∠MAN=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠CDB=∠DFB=90°，∠CBD=∠NBP，
∴△BCD∽△BDF，
∴BD：BF=BC：BD，
∴BD²=BC•BF=5x，
∵AD²=BC²-BD²，AD²=DF²+AF²，AD=CD，
∴BC²-BD²=DF²+AF²，
即5²-5x=2²+（3+x）²，
解得：x=1，或x=-12（舍去），
∴x=1，
∴AD²=25-5=20，
∴DE=AD=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题是三角形综合题目，考查了含30°角的直角三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、等腰三角形的判定、三角形的外角性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要通过作辅助线运用勾股定理得出方程才能得出结果．