Question

11．如图，在长方形ABCO中，点B（8，6），
（1）点M在边AB上，若△OCM是等腰三角形，试求M的坐标；
（2）点P是线段BC上一动点，0≤PC≤6．已知点D在第一象限，是直线y=2x-6上的一点，若△ADP是等腰三角形，且∠ADP=90°，请求出点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）分三种情况：①当OM=MC时，如图1，根据全等证明AM=BM可得结论；②当OM=OC时，如图2，根据勾股定理求AM的长，可得结论；③当OC=CM时，同理得M的坐标；
（2）分两种情况：
①当D在长方形ABCO内部时，如图4，P与B重合，过D作DE⊥AB于E，根据AE=BE=DE求点D的坐标；
②当D在长方形ABCO外部时，如图5，作辅助线，构建全等三角形，根据AE=DF列等式可求点D的坐标．

解答 解：（1）分三种情况：
①当OM=MC时，如图1，
∵四边形ABCO是长方形，
∴∠OAM=∠B=90°，AO=BC，
∴Rt△AOM≌Rt△BCM，
∴AM=BM，
∵B（8，6），
∴M（4，6）；
②当OM=OC时，如图2，
∵OC=8，
∴OM=8，
在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM=$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴M（2$\sqrt{7}$，6），
③当OC=CM时，同理得：BM=2$\sqrt{7}$，
∴AM=8-2$\sqrt{7}$，
∴M（8-2$\sqrt{7}$，6），
综上所述，点M的坐标为：（4，6）或（2$\sqrt{7}$，6）或（8-2$\sqrt{7}$，6）；
（2）分两种情况：
①当D在长方形ABCO内部时，如图4，P与B重合，
∵∠ADP=90°，△ADP是等腰三角形，
∴△ADP是等腰直角三角形，
过D作DE⊥AB于E，
∴AE=ED=BE=4，
∴D（4，2），
②当D在长方形ABCO外部时，如图5，∠ADP=90°，AD=PD，
过D作EF∥AB，交y轴于E，交CB延长线于F，
∴∠AED=∠DFP=90°，
∴∠EAD+∠EDA=90°，
∵∠ADP=90°，
∴∠EDA+∠PDF=90°，
∴∠EAD=∠PDF，
∵AD=PD，
∴△ADE≌△DFP，
∴AE=DF，
设D（m，2m-6），
∴2m-6-6=8-m，
m=$\frac{20}{3}$，
∴2m-6=$\frac{22}{3}$，
∴D（$\frac{20}{3}$，$\frac{22}{3}$），
综上所述，点D的坐标为（4，2）或（$\frac{20}{3}$，$\frac{22}{3}$）．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了长方形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，注意采用分类讨论的思想，利用数形结合解决问题．