题目内容
如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．折叠纸片使点B落在AD上，落点为B′．点B′从点A开始沿AD移动，折痕所在直线l的位置也随之改变，当直线l经过点A时，点B′停止移动，连接BB′．设直线l与AB相交于点E，与CD所在直线相交于点F，点B′的移动距离为x，点F与点C的距离为y．（1）求证：∠BEF=∠AB′B；
（2）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．
考点：翻折变换（折叠问题）,矩形的性质
专题：综合题
分析：（1）先由等腰三角形中的三线合一，得出∠BOE=90°，再由∠ABB′+∠BEF=90°，∠ABB′+∠AB′B=90°，得出∠BEF=∠AB′B；
（2）①当点F在线段CD上时，如图1所示．作FM⊥AB交AB于点E，在Rt△EAB′中，利用勾股定理求出AE，再由tan∠AB′B=tan∠BEF列出关系式写出x的取值范围即可，
②当点F在点C下方时，如图2所示．利用勾股定理与三角函数，列出关系式，写出x的取值范围，
（2）①当点F在线段CD上时，如图1所示．作FM⊥AB交AB于点E，在Rt△EAB′中，利用勾股定理求出AE，再由tan∠AB′B=tan∠BEF列出关系式写出x的取值范围即可，
②当点F在点C下方时，如图2所示．利用勾股定理与三角函数，列出关系式，写出x的取值范围，
解答：（1）证明：如图，由四边形ABCD是矩形和折叠的性质可知，BE=B′E，∠BEF=∠B′EF，
∴在等腰△BEB′中，EF是角平分线，
∴EF⊥BB′，∠BOE=90°，
∴∠ABB′+∠BEF=90°，
∵∠ABB′+∠AB′B=90°，
∴∠BEF=∠AB′B；
（2）解：①当点F在CD之间时，如图1，作FM⊥AB交AB于点M，
∵AB=6，BE=EB′，AB′=x，BM=FC=y，
∴在Rt△EAB′中，EB′2=AE2+AB′2，
∴（6-AE）2=AE2+x2
解得AE=
，
tan∠AB′B=
=
，
tan∠BEF=
=
，
∵由（1）知∠BEF=∠AB′B，
∴
=
，
化简，得y=
x2-
x+3，（0＜x≤8-2
）
②当点F在点C下方时，如图2所示．
设直线EF与BC交于点K
设∠ABB′=∠BKE=∠CKF=θ，
则tanθ=
=
．
BK=
，CK=BC-BK=8-
．
∴CF=CK•tanθ=（8-
）•tanθ=8tanθ-BE=
x-BE．
在Rt△EAB′中，EB′2=AE2+AB′2，
∴（6-BE）2+x2=BE2
解得BE=
．
∴CF=
x-BE=
x-
=-
x2+
x-3
∴y=-
x2+
x-3（8-2
＜x≤6）
综上所述，
y=
．
∴在等腰△BEB′中，EF是角平分线，
∴EF⊥BB′，∠BOE=90°，
∴∠ABB′+∠BEF=90°，
∵∠ABB′+∠AB′B=90°，
∴∠BEF=∠AB′B；
（2）解：①当点F在CD之间时，如图1，作FM⊥AB交AB于点M，
∵AB=6，BE=EB′，AB′=x，BM=FC=y，
∴在Rt△EAB′中，EB′2=AE2+AB′2，
∴（6-AE）2=AE2+x2
解得AE=
| 36-x2 |
| 12 |
tan∠AB′B=
| AB |
| AB′ |
| 6 |
| x |
tan∠BEF=
| MF |
| EM |
| 8 | ||
6-y-
|
∵由（1）知∠BEF=∠AB′B，
∴
| 6 |
| x |
| 8 | ||
6-y-
|
化简，得y=
| 1 |
| 12 |
| 4 |
| 3 |
| 7 |
②当点F在点C下方时，如图2所示．
设直线EF与BC交于点K
设∠ABB′=∠BKE=∠CKF=θ，
则tanθ=
| AB′ |
| AB |
| x |
| 6 |
BK=
| BE |
| tanθ |
| BE |
| tanθ |
∴CF=CK•tanθ=（8-
| BE |
| tanθ |
| 4 |
| 3 |
在Rt△EAB′中，EB′2=AE2+AB′2，
∴（6-BE）2+x2=BE2
解得BE=
| 36+x2 |
| 12 |
∴CF=
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 36+x2 |
| 12 |
| 1 |
| 12 |
| 4 |
| 3 |
∴y=-
| 1 |
| 12 |
| 4 |
| 3 |
| 7 |
综上所述，
y=
|
点评：本题考查了折叠的问题及矩形的性质，解题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
练习册系列答案
相关题目
如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示-
“戒烟一小时，健康亿人行”．今年国际无烟日，小华就公众对餐厅吸烟的态度进行了随机抽样调查，主要有四种态度：
（1）已知：如图，点CD，AB，AC，BC在同一直线上，EC∥FD，∠F=∠E．求证：AE∥BF，