Question

19．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点，点P是AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），矩形PECF的顶点E，F分别在BC，AC上．
（1）探究DE与DF的关系，并给出证明；
（2）当点P满足什么条件时，线段EF的长最短？（直接给出结论，不必说明理由）

Answer 1

分析 （1）连接CD，首先根据△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点得到CD=AD，CD⊥AD，然后根据四边形PECF是矩形得到△APE是等腰直角三角形，从而得到△DCE≌△DAF，证得DE=DF，DE⊥DF；
（2）根据DE=DF，DE⊥DF，得到EF=$\sqrt{2}$DE=$\sqrt{2}$DF，从而得到当DE和DF同时最短时，EF最短得到此时点P与点D重合线段EF最短．

解答 解：（1）DE=DF，DE⊥DF，
证明：连接CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点，
∴CD=AD，CD⊥AD，
∵四边形PECF是矩形，
∴CE=FP，FP∥CB，
∴△APF是等腰直角三角形，
∴AF=PF=EC，
∴∠DCE=∠A=45°，
∴△DCE≌△DAF，
∴DE=DF，∠ADF=∠CDE，
∵∠CDA=90°，
∴∠EDF=90°，
∴DE=DF，DE⊥DF；

（2）∵DE=DF，DE⊥DF，
∴EF=$\sqrt{2}$DE=$\sqrt{2}$DF，
∴当DE和DF同时最短时，EF最短，
∴当DF⊥AC，DE⊥AB时，二者最短，
∴此时点P与点D重合，
∴点P与点D重合时，线段EF最短．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形及矩形的性质，解题的关键是能够证得两个三角形全等，难度不大．