Question

10．已知，如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点E、F同时从B点出发，点E沿射线BC方向以5cm/s运动，点F沿线段BD方向以4cm/s运动，当点F到达D时，运动停止，连接DE，设运动时间为t（s）．
（1）请判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）线段DE的中点O的运动路径长$\frac{25}{4}$cm；
（3）当t为何值时，△DEF的外接圆与矩形ABCD的边相切？

Answer 1

分析 （1）根据点E和点F的速度之比以及BC、BD之比证明△BEF∽△BDC，求出∠DFE=90°，判断△DEF的形状；
（2）根据点F的运动时间，求出BE的长，得到线段DE的中点O的运动路径长；
（3）从⊙O与AB边相切和⊙O与AD、BC边相切两种情况讨论，根据切线的判定计算即可．

解答 解：（1）△DEF是直角三角形．
理由∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=90°，
又∵AB=6cm，BC=8cm，根据勾股定理得，
∴BD=10，
点E的运动速度为5cm/s，
点F的运动速度为4cm/s，运动时间为t（s），
∴BE=5t，BF=4t．
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$，
又∵∠DBC为公共角，
∴△BEF∽△BDC，
∴∠BFE=∠C=90°，
∴△DEF是直角三角形； 
（2）∵点F沿线段BD方向以4cm/s运动，当点F到达D时，运动停止，
∴运动时间为$\frac{5}{2}$s，
则BE=$\frac{25}{2}$，
由题意可知，线段DE的中点O的运动路径长为BE的$\frac{1}{2}$，即$\frac{25}{4}$；
（3）∵∠DFE=90°，
∴DE为△DEF的外接圆直径，点O为圆心，
①当⊙O与AB边相切于点G时，如图，连接GO并延长交DC于H点，
∴GH∥AD∥BC．
∴$\frac{BG}{AG}$=$\frac{BM}{MD}$=$\frac{DO}{EO}$=$\frac{DH}{CH}$．
又∵点O是DE的中点，
∴点G、M、H分别为AB、DB、CD的中点，
∴OH=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$（8-5t）=4-$\frac{5}{2}$t，OG=8-$\frac{1}{2}$（8-5t）=4+$\frac{5}{2}$t．
又∵OD²=OH²+DH²=（4-$\frac{5}{2}$t）²+3²，
∴由OD²=OG²，得（4-$\frac{5}{2}$t）²+3²=（4+$\frac{5}{2}$t）²，解得t=$\frac{9}{40}$，
②当点E运动到点C时，⊙O与AD、BC边相切，
由5t=8，得t=$\frac{8}{5}$．
所以，当t=$\frac{9}{40}$或t=$\frac{8}{5}$时，△DEF的外接圆⊙O与矩形ABCD的边相切．

点评 本题考查的是四边形的综合运用和直线与圆相切，正确运用三角形相似的判定和性质、三角形的中位线和直线与圆相切的性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的灵活运用．