Question

8．正方形ABCD中，点EF分别在边BC和CD上，且AE⊥BF．点C关于自线BF的对称点为点G，连线FG并延长交AD于点H，若点H是AD的三等分点，则的$\frac{BE}{BC}$值为$\frac{1}{5}$或$\frac{11}{12}$．

Answer 1

分析 如图，连接BG、BH．首先证明△BHA≌△BHG，△ABE≌△BCF，推出AH=GH，CF=BE，分两种情形讨论①当AH=2a，DH=a时，设CF=b，②当AH=a，DH=2a时，设CF=b，
利用勾股定理列出方程求出a、b关系即可解决问题．

解答 解：如图，连接BG、BH．

∵C、G关于BF对称，
∴CF=FG，BC=BG=AB，∠C=∠BGF=90°，
在Rt△BHA和Rt△BHG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=BH}\\{BA=BG}\end{array}\right.$，
∴△BHA≌△BHG．
∴AH=GH，
∵AE⊥BF，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠FBC，∵AB=BC，∠ABE=∠C，
∴△ABE≌△BCF，
∴CF=BE，
设AB=BC=CD=AD=3a，
①当AH=2a，DH=a时，设CF=b，
在Rt△DHF中，∵DH²+DF²=HF²，
∴a²+（3a-b）²=（2a+b）²，
∴b=$\frac{3}{5}$a，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\frac{3}{5}a}{3a}$=$\frac{1}{5}$，
②当AH=a，DH=2a时，设CF=b，同理可得，（2a）²+（3a-b）²=（a+b）²，
∴b=$\frac{11}{4}a$，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\frac{11}{4}a}{3a}$=$\frac{11}{12}$，
综上所述$\frac{BE}{BC}$=$\frac{1}{5}$或$\frac{11}{12}$．
故答案为$\frac{1}{5}$或$\frac{11}{12}$．

点评 本题考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质．勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．