[问题背景]如图1.在四边形ADBC中.∠ACB=∠ADB=90°.AD=BD.探究线段AC.BC.CD之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是:将△BCD绕点D.逆时针旋转90°到△AED处.点B.C分别落在点A.E处.易证点C.A.E在同一条直线上.并且△CDE是等腰直角三角形.所以CE=$\sqrt{2}$CD.从而得出结论:AC+BC=$\sqrt{2}$CD[� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．【问题背景】
如图1，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图2），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=$\sqrt{2}$CD，从而得出结论：AC+BC=$\sqrt{2}$CD
【简单应用】
（1）在图1中，若AC=$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，则CD=3．
（2）如图3，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，若AB=13，BC=12，求CD的长．
【拓展规律】
（3）如图4，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）

分析（1）代入结论：AC+BC=$\sqrt{2}$CD，直接计算即可；
（2）如图3，作辅助线，根据直径所对的圆周角是直角得：∠ADB=∠ACB=90°，由弧相等可知所对的弦相等，得到满足图1的条件，所以AC+BC=$\sqrt{2}$CD，代入可得CD的长；
（3）介绍两种解法：
解法一：作辅助线，构建如图3所示的图形，由AC+BC=$\sqrt{2}$D₁C，得D₁C=$\frac{\sqrt{2}（m+n）}{2}$，在直角△CDD₁，利用勾股定理可得CD的长；
解法二：如图5，根据小吴同学的思路作辅助线，构建全等三角形：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处，得△BCD≌△AED，证明△CDE是等腰直角三角形，所以CE=$\sqrt{2}$CD，从而得出结论．

解答解：（1）由题意知：AC+BC=$\sqrt{2}$CD，
∴$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$CD，
∴CD=3；
故答案为：3；
（2）如图3，连接AC、BD、AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
∵AB=13，BC=12，
∴由勾股定理得：AC=5，
由图1得：AC+BC=$\sqrt{2}$CD，
5+12=$\sqrt{2}$CD，
∴CD=$\frac{17\sqrt{2}}{2}$；
（3）解法一：以AB为直径作⊙O，连接DO并延长交⊙O于点D₁，
连接D₁A、D₁B、D₁C、CD，如图4，
由（2）得：AC+BC=$\sqrt{2}$D₁C，
∴D₁C=$\frac{\sqrt{2}（m+n）}{2}$，
∵D₁D是⊙O的直径，
∴∠D₁CD=90°，
∵AC=m，BC=n，
∴由勾股定理可求得：AB²=m²+n²，
∴D₁D²=AB²=m²+n²，
∵D₁C²+DC²=D₁D²，
∴CD²=m²+n²-$\frac{（m+n）^{2}}{2}$=$\frac{（m-n）^{2}}{2}$，
∵m＜n，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}（n-m）}{2}$；
解法二：如图5，∵∠ACB=∠DB=90°，
∴A、B、C、D在以AB为直径的圆上，
∴∠DAC=∠DBC，
将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处，
∴△BCD≌△AED，
∴CD=ED，∠ADC=∠ADE，
∴∠ADC-∠ADC=∠ADE-∠ADC，
即∠ADB=∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，所以CE=$\sqrt{2}$CD，
∵AC=m，BC=n=AE，
∴CE=n-m，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}（n-m）}{2}$．