题目内容
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F，求证：EB•DF=AE•BD．考点：相似三角形的判定与性质
专题：证明题
分析：先利用△BFC∽△BCE，得出BC2=BE×BF，再利用射影定理求出BC2=BD×BA，可得出BE×BF=BD×BA，再由公共角得出△BFD∽△BAE，即可得出EB•DF=AE•BD．
解答：证明：∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
又∵∠BCE=90°，∠CBF=∠EBC，
∴△BFC∽△BCE
∴
=
，即BC2=BE×BF，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴BC2=BD×BA，
∴BE×BF=BD×BA
∴
=
，
又∵∠DBF=∠EBA
∴△BFD∽△BAE，
∴
=
，即EB•DF=AE•BD．
∴∠BFC=90°，
又∵∠BCE=90°，∠CBF=∠EBC，
∴△BFC∽△BCE
∴
| BC |
| BE |
| BF |
| BC |
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴BC2=BD×BA，
∴BE×BF=BD×BA
∴
| BE |
| BD |
| BA |
| BF |
又∵∠DBF=∠EBA
∴△BFD∽△BAE，
∴
| EB |
| AE |
| BD |
| DF |
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是求出BE×BF=BD×BA．
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