Question

6．在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F．
（1）求∠EFD的度数；
（2）判断FE与FD之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义计算求解；
（2）在AC上截取AG=AE，则EF=FG；根据ASA证明△FCD≌△FCG，得DF=FG，故判断EF=FD．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°
∴∠BAC=30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线
∴∠FAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°，∠FCA=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°
∴∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°，
∴∠EFD=∠AFC=120°；
（2）FE与FD之间的数量关系为FE=FD；
证明：在AC上截取AG=AE，连接FG，

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2
又∵AF为公共边
在△EAF和△GAF中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠FAG}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF
∴FE=FG，∠AFE=∠AFG=60°，
∴∠CFG=60°，
又∵FC为公共边，∠DCF=∠FCG=45°
在△FDC和△FGC中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DFC=∠GFC}\\{FC=FC}\\{∠FCG=∠FCD}\end{array}\right.$，
∴△CFG≌△CFD，
∴FG=FD
∴FE=FD．

点评 此题考查三角形内角和、全等三角形的判定和性质，角平分线问题，关键是根据全等三角形的判定与性质解答．