Question

3．在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠BAE：∠CAE=4：7，BD平分∠ABC，点F在BC上，∠CDF=70°，∠ABD=25°．
（1）求∠CAE的度数；
（2）求证：DF⊥BC．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABD，根据垂直的定义可得∠AEB=90°，然后根据直角三角形两锐角互余，求出∠BAE，再求出∠CAE；
（2）根据同位角相等，两直线平行，可得DF∥AE，然后根据同旁内角互补，求得∠EFD=90°即可．

解答 解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABD=25°，
∴∠ABC=2∠ABD=50°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=40°，
又∵∠BAE：∠CAE=4：7，
∴∠CAE=70°；

（2）∵∠CDF=70°，∠CAE=70°，
∴∠CAE=∠CDF，
∴DF∥AE，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴∠EFD=90°，
∴DF⊥BC．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，平行的判定与性质，以及垂线的性质的综合应用．根据同位角相等，两直线平行，判定AE∥DF是解题的关键，也是本题的难点．