Question

某单位化50万元买回一台高科技设备．根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x天应付的养护和维修费为[

1

4

(x-1)+500]元．
（1）如果将该设备从开始投入使用到报废所付的养护费，维修费及设备购买费之和均摊到每一天，叫做日平均损耗．请你将日平均损耗y（元）表示为x（天）的函数；
（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的日平均损耗达到最小值时，就应当报废．问该设备投入使用多少天应当报废？
注：在解本题时可能要用到以下两个知识点，如果需要可直接引用结论．
①对于任意正整数n，有1+2+3+…+n=

n (n+1)

2

；
②对于任意正数a，b和正实数x，有y=

a

x

+

x

b

≥2

ax xb

=2

a b

，当

x

a

=

b

x

时，函数y可取到最小值2

a b

．

Answer 1

分析：（1）算出从第一天到第x天所付的养护费，维修费总和为500+（500+

1

4

）+[500+

1

4

×2]+…+[

1

4

(x-1)+500]=[500x+

x(x-1)

8

]元，加上设备购买费，除以x得出日平均损耗；
（2）利用任意正数a，b和正实数x，有y=

a

x

+

x

b

≥2

ax xb

=2

a b

，当

x

a

=

b

x

时，函数y可取到最小值2

a b

整理（1）的函数解决问题．

解答：解：（1）由题意知从第一天到第x天所付的养护费，维修费总和为，
500+（500+

1

4

）+[500+

1

4

×2]+…+[

1

4

(x-1)+500]=[500x+

x(x-1)

8

]元，
日平均损耗函数y=[500x+

x(x-1)

8

+500000]÷x=

3999

8

+

x

8

+

500000

x

；

（2）由y=

3999

8

+

x

8

+

500000

x

≥

3999

8

+2

x 8 • 500000 x

=

3999

8

+500=

7999

8

，
即此设备的日平均损耗达到最小值为

7999

8

元，就应当报废，
因此

1

4

(x-1)+500=

7999

8

，
解得x=2000.5，
故设备投入使用2000天应当报废，
答：该设备投入使用2000天应当报废．

点评：此题主要考查连续自然数连加计算公式：1+2+3+…+n=

n (n+1)

2

；以及利用任意正数a，b和正实数x，有y=

a

x

+

x

b

≥2

ax xb

=2

a b

，当

x

a

=

b

x

时，函数y可取到最小值2

a b

解决问题．