Question

11．如图，已知直线y=3x-3分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与点A不重合），点D是抛物线的顶点，请解答下列问题．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）求△BCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据直线y=3x-3分别交x轴，y轴于A，B两点，可以求得点A和点B的坐标，由抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，从而可以得到抛物线的解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以分别求得点C和点D的坐标，从而可以求得BC、BD、CD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题；
（3）根据（2）中的判断，然后根据三角形的面积公式即可解答本题．

解答 解：（1）∵直线y=3x-3分别交x轴，y轴于A，B两点，
当y=0时，x=1，当x=0时，y=-3，
∴点A（1，0），点B（0，-3），
∵抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{1}^{2}+b×1+c=0}\\{{0}^{2}+b×0+c=-3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²+2x-3；
（2）△BCD是直角三角形，
理由：∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4=（x+3）（x-1），
∴当y=0时，x=-3或x=1，此抛物线的顶点坐标是（-1，-4），
∵抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与点A不重合），点D是抛物线的顶点，
∴点C（-3，0），点D（-1，-4），
∵点B（0，-3），
∴BC=$\sqrt{（-3-0）^{2}+[0-（-3）]^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
CD=$\sqrt{[（-3）-（-1）]^{2}+[0-（-4）]^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
BD=$\sqrt{[0-（-1）]^{2}+[（-3）-（-4）]^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵$（3\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}=18+2=20=（2\sqrt{5}）^{2}$，
∴BC²+BD²=CD²，
∴△BCD是直角三角形；
（3）由（2）知△BCD是直角三角形，∠CBD=90°，$BC=3\sqrt{2}$，CD=$2\sqrt{5}$，BD=$\sqrt{2}$，
∴△BCD的面积是：$\frac{BC•BD}{2}=\frac{3\sqrt{2}•\sqrt{2}}{2}=3$，
即△BCD的面积是3．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点坐标、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解答此类问题的关键是明确题意，求出各点的坐标，利用勾股定理的逆定理和三角形的面积解答，注意（2）中要先做出判断．