Question

给出三条线段a=

3

+1，b=2，c=

6

．
（1）操作：
①求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c；
②作∠C的角平分线交AB于点D；
（2）求：
①

AD

DB

的值；
②△ABC和△BCD的最小覆盖圆的半径r₁、r₂．

Answer 1

分析：（1）①根据三角形的作法，按步骤作出即可；
②按照角平分线的作法，作图即可；
（2）①利用勾股定理得出AF²=AC²-FC²，AF²=AB²-BF²，求出三角形的角即可；
②利用三角形外接圆半径公式求出即可．

解答：解：（1）①作射线在射线上截取a=BC，
再分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交点即是A点位置，连接AB，AC即可得出△ABC，
②以C为圆心，任意长为半径画弧，再以弧与角的两边交点为圆心，大于两点之间距离的一半为半径，画弧两弧交点即是角平分线上的点，连接即可；

（2）①作AF⊥BC，DE⊥BC，
假设CF=x，BF=

3

+1-x，
∴2²-x²=（

6

）²-（

3

+1-x）²，
解得：x=1，
∴BF=

3

，
AF=

3

，
∴∠BCA=60°，∠B=45°，
同理可得出：BE=DE=1，
∴BD=

2

，
∴AD=

6

-

2

，
∴

AD

DB

=

6 - 2

2

=

3

-1；
②∵三角形的外接圆半径与边角之间的关系为：
R=

a

2sinA

=

b

2sinB

=

c

2sinC

，
∴△ABC的最小覆盖圆的半径r₁=

2

2sinB

=

1

2 2

=

2

；
△BCD的最小覆盖圆的半径r₂=

BD

2sin30°

=

2

1

=

2

．

点评：此题主要考查了已知三边作三角形以及角平分线的作法和勾股定理以及三角形的外接圆半径与边角之间的关系，熟练记忆相关公式求出三角形的角度是解决问题的关键．