Question

如图，已知tan∠MON=2，点P是∠MON内一点，PC⊥OM，垂足为点C，PC=2，OC=6，A是OC延长线上一点，连接AP并延长与射线ON交于点B．
（1）当点P恰好是线段AB的中点时，试判断△AOB的形状，并说明理由；
（2）当CA的长度为多少时，△AOB是等腰三角形；
（3）设，是否存在适当的k，使得？若存在，试求出k的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

解：（1）△AOB为直角三角形．理由如下：
过点B作BE⊥OM，垂足为点E，如图，
∵PC⊥OM，
∴BE∥PC，
∵点P是线段AB的中点，PC=2，
∴BE=4，
又∵tan∠MON=2，tan∠MON==2，
∴OE=2，
∵OC=6，
∴EC=CA=4
∴Rt△OBE≌Rt△PAC，
∴∠OBE=∠OAB，∠AOB=∠CPA，
而∠CPA=∠EBA，
∴∠OBE+∠EBA=90°，
∴△OBA为直角三角形；

（2）设OE=a，则BE=2a，OB=a
∵PC∥BE，
∴，
设CA=x，则=，
∴a=，
∴OA=6+x，OB=，
①若OA=OB，即x+6=•
解得x=-1；
②若AO=AB，即
解得；
③若OB=AB时，OE=EA，
∴，解得x=1；
综上，当CA的值分别为、、1时，△AOB是等腰三角形．

（3）存在．理由如下：
同（2）设CA=x，OE=a，
∵S_△APC=•x•2=x，S_△ABO=•2a•（x+6）=（x+6）a，
由，得==，
∴，
∵，
∴，
∴x=6a，
而a=，
∴6•=x，
解得x₁=9，x₂=-4（舍去），
∴．
分析：（1）过点B作BE⊥OM，垂足为点E，根据中位线的性质得到BE=4，再根据正切的定义得到OE=2，EC=CA=4，易证得Rt△OBE≌Rt△PAC，得到∠OBE=∠OAB，∠AOB=∠CPA，而∠CPA=∠EBA，即可得到∠OBE+∠EBA=90°；
（2）设OE=a，则BE=2a，OB=a，设CA=x，由PC∥BE，则，可得到a=，然后分类讨论：若OA=OB，即x+6=•；若AO=AB，即；若OB=AB时，OE=EA，，分别解方程即可得到x的值；
（3）同（2）设法一样，根据三角形的面积公式得到S_△APC=•x•2=x，S_△ABO=•2a•（x+6）=（x+6）a，由，得==，得到，再根据题意得到
，而a=，即可得到关于x的方程，解方程即可．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比等于相似比．也考查了三角形的中位线定理以及解方程的方法．