Question

1．已知矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=4cm，AD=4$\sqrt{3}$cm．已知点E、F分别同时从A点出发，点E沿着A→D→O运动，点F沿着A→B→O运动，当它们到达O点时同时停止运动．点E在AD上的速度为$\sqrt{3}$cm/s，点F在AB上的速度为1cm/s，E、F两点在BD上的速度都为2cm/s．在整个运动过程中，连接EF，在直线EF下方作等边△EFG，设运动时间为t秒．
（1）当点E在AD上运动时，求t为何值时，点G落在边BC上？
（2）如图1，在整个运动过程中，△EFG与△ABC重叠部分的面积S，请直接写出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）如图2，当t=2时，将△BFG绕着点G顺时针旋转α（0°＜α＜360°），在旋转过程中，直线BF与直线AC、AD分别交于点M、N．问是否存在这样的点M、N使得△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请求出AM的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当G在BC边上时，如图1中，首先证明四边形ABGE是矩形，根据EF=EG=AB=2t，列出方程即可解决问题．
（2）分四种情形①如图2中，当0＜t≤2时，重叠部分是四边形FGMN．②如图3中，当2＜t≤4时，重叠部分是五边形MNFPK．③如图4中，当4＜t≤$\frac{16}{3}$时，重叠部分是五边形OMKPE．④如图5中，当$\frac{16}{3}$＜t≤6时，重叠部分是四边形OMGF．分别求解即可．
（3）分四种情形）①如图6中，当点N在AD上，点M在上时，易知∠MAN=∠ANM=30°，AM=MN，△AMN是以MN为腰的等腰三角形．②如图7中，当MN=NA时，连接CN．③如图8中，当MN=AN时，④如图9中，当AM=MN时，分别求解即可．

解答 解：（1）当G在BC边上时，如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AB=4，AD=4$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABD=60°，
∵AE=$\sqrt{3}$t，AF=t，
∴tan∠AFE=$\frac{AE}{AF}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AFE=60°，
∴∠AEF=30°，
∵△EFG是等边三角形，
∴EF=EG=FG，∠FEG=60°，
∴∠AEG=90°，
∵∠ABC=∠BAE=∠AEG=90°，
∴四边形ABGE是矩形，
∴EF=EG=AB，
∴2t=4
∴t=2．

（2 ）①如图2中，当0＜t≤2时，重叠部分是四边形FGMN．

s=S_△EFG-S_△EMN=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（2t）²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•t²=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$t²．

②如图3中，当2＜t≤4时，重叠部分是五边形MNFPK．

s═S_△EFG-S_△EMN-S_△PKG=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（2t）²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•t²-$\frac{1}{2}$（2t-4）•$\sqrt{3}$（2t-4）=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$t²+8$\sqrt{3}$t-8$\sqrt{3}$．

③如图4中，当4＜t≤$\frac{16}{3}$时，重叠部分是五边形OMKPE．

S=S_△EFG-S_△EOM-S_△PKG=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[8-4（t-4）]²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[4-2（t-4）]²-$\frac{1}{2}$（16-3t）•$\sqrt{3}$（16-3t）=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$t²+12$\sqrt{3}$t-45$\sqrt{4}$．

④如图5中，当$\frac{16}{3}$＜t≤6时，重叠部分是四边形OMGF．

S=S_△EFG-S_△EOM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[8-4（t-4）]²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[4-2（t-4）]²=3$\sqrt{3}$t²-36$\sqrt{3}$t+108$\sqrt{3}$．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3\sqrt{3}}{4}{t}^{2}}&{（0＜t≤2）}\\{-\frac{3\sqrt{3}}{4}{t}^{2}+8\sqrt{3}t-8\sqrt{3}}&{（2＜t≤4）}\\{-\frac{3\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+12\sqrt{3}t-45\sqrt{3}}&{（4＜t≤\frac{16}{3}）}\\{3\sqrt{3}{t}^{2}-36\sqrt{3}t+108\sqrt{3}}&{（\frac{16}{3}＜t≤6）}\end{array}\right.$．

（3）存在，理由如下：
①如图6中，当点N在AD上，点M在上时，易知∠MAN=∠ANM=30°，AM=MN，△AMN是以MN为腰的等腰三角形．

此时，∵AN=2$\sqrt{3}$，作MH⊥AF于H，
∴AH=NH=$\sqrt{3}$，cos30°=$\frac{AH}{AM}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{AM}$，
∴AM=2cm．
②如图7中，当MN=NA时，连接CN．

∵NA=NM，
∴∠NAM=∠NMA=30°，
∵∠FCM=∠FMC=30°，CF=4-2$\sqrt{3}$，
∴CM=2•CF•cos30°=4$\sqrt{3}$-6，
∴AM=AC+CM=（4$\sqrt{3}$+2）cm．
③如图8中，当MN=AN时，

易知O、G、F共线，△OFM是等边三角形，OM=6，
∴OM=OA+OM=4+6=10cm
④如图9中，当AM=MN时，作FH⊥DM于H，

∵四边形ABFH是矩形，
∴AH=FB=4-2$\sqrt{3}$，
在Rt△FHM中，MH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$FH=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AM=MH+AH=（4-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）cm．
综上所述，当△AMN是以MN为腰的等腰三角形时，AM的长为2cm或（4$\sqrt{3}$+2）cm或10cm或（4-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）cm．

点评 本题考查四边形综合题、旋转变换、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会画正确图形，学会分类讨论，学会用分段函数表示函数关系式，本题体现了数形结合的数学思想，属于中考压轴题．