Question

6．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，分别以AB、AC为边在形外作两个等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，使∠BAD=∠CAE=90°．连结DE，CA的延长线交DE于F．
（1）求∠DBC的度数；
（2）证明BD=CE；
（3）△CEF是等腰三角形吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得∠DBC的度数；
（2）证明△ABD≌△ACE即可得到结论．
（3）结论：△CEF不是等腰三角形．求出△ECF的内角即可判断；

解答 （1）解：∵△ABD为等腰直角三角形，
∴∠DBA=45°．
又∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC=70°．
∴∠DBC=115°；

（2）证明：∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE．
又∵AB=AC，
∴AB=AD=AC=AE．
∴△ABD≌△ACE．
∴BD=CE．

（3）结论：△CEF不是等腰三角形．
理由：∵∠DAE=360°-90°-90°-40°=140°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=20°，
∴∠CEF=∠AED+∠AEC=65°，
∴∠CFE=180°-45°-65°=70°，
∴∠CFE≠∠CEF，∠ECF≠∠CFE，∠ECF≠∠FEC，
∴△CEF不是等腰三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定；得到AB=AD=AC=AE是正确解答本题的关键．