Question

（2012•延庆县二模）如图，等边△ABC中，边长AB=3，点D在线段BC上，点E在射线AC上，点D沿BC方向从B点以每秒1个单位的速度向终点C运动，点E沿AC方向从A点以每秒2个单位的速度运动，当D点停止时E点也停止运动，设运动时间为t秒，若D、E、C三点围成的图形的面积用y来表示，则y与t的图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：过点D作DF⊥AC于点F，根据点D的速度求出CD的长度，然后解直角三角形求出DF的长度，再分点E在AC上与在AC的延长线上两种情况求出CE的长度，然后根据三角形的面积公式列式表示出y、t的关系式，再根据相应的函数图象解答即可．

解答：解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵点D的速度是每秒1个单位，
∴CD=3-t，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴DF=CD•sin60°=

3

2

（3-t），
①点E在AC上时，∵点E的速度是每秒2个单位，
∴CE=3-2t，
∴y=

1

2

（3-2t）×

3

2

（3-t）=

3

2

t²-

9 3

4

t+

9 3

4

，
当3-2t=0，即t=

3

2

时，CE=0，y=0，
即与x轴的交点坐标为（

3

2

，0），
与y轴的交点坐标为（0，

9 3

4

）；
②点E在AC的延长线上时，CE=2t-3，
y=

1

2

（2t-3）×

3

2

（3-t）=-

3

2

t²+

9 3

4

t-

9 3

4

，
当3-2t=0时，即t=

3

2

时，CE=0，y=0，
当3-t=0时，即t=3时，CD=0，y=0，
所以，与x轴的交点坐标为（

3

2

，0）、（3，0），
综上所述，函数图象为两段抛物线，只有C选项图象符合．
故选C．

点评：本题考查了动点问题的函数图象，等边三角形的性质，解直角三角形，作辅助线然后分两段求出相应的函数解析式是解题的关键．