题目内容

15．阅读下面材料：小明研究了这样一个问题：求使得等式kx+2-|x|=0（k＞0）成立的x的个数．小明发现，先将该等式转化为kx+2=|x|，再通过研究函数y=kx+2的图象与函数y=|x|的图象（如图）的交点，使问题得到解决．
请回答：
（1）当k=1时，使得原等式成立的x的个数为1；
（2）当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为2；
（3）当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为1．
参考小明思考问题的方法，解决问题：关于x的不等式x2+a-$\frac{4}{x}$＜0（a＞0）只有一个整数解，求a的取值范围．

分析 （1）画出y=x+2的函数图象，确定交点个数；
（2）当0＜k＜1时，画出y=kx+2的函数图象，确定交点个数；
（3）当k＞1时，画出y=kx+2的函数图象，确定交点个数；
解决问题：将不等式${x^2}+a-\frac{4}{x}＜0（a＞0）$转化为${x^2}+a＜\frac{4}{x}（a＞0）$，研究函数y=x2+a（a＞0）与函数$y=\frac{4}{x}$的图象的交点，即可解答．

解答 解：（1）当k=1时，如图1，使得原等式成立的x的个数为1；

（2）当0＜k＜1时，如图2，使得原等式成立的x的个数为2；

（3）当k＞1时，如图3，使得原等式成立的x的个数为1．

故答案为：（1）1；（2）2；（3）1．
解决问题：将不等式${x^2}+a-\frac{4}{x}＜0（a＞0）$转化为${x^2}+a＜\frac{4}{x}（a＞0）$，
研究函数y=x2+a（a＞0）与函数$y=\frac{4}{x}$的图象的交点，如图4，

∵函数$y=\frac{4}{x}$的图象经过点A（1，4），B（2，2），
函数y=x2的图象经过点C（1，1），D（2，4），
若函数y=x2+a（a＞0）经过点A（1，4），则a=3，
结合图象可知，当0＜a＜3时，关于x的不等式${x^2}+a＜\frac{4}{x}（a＞0）$只有一个整数解．
也就是当0＜a＜3时，关于x的不等式${x^2}+a-\frac{4}{x}＜0（a＞0）$只有一个整数解．

点评 本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，反比例函数的图象，解决本题的关键是画出函数图象，确定两函数图形的交点个数．

练习册系列答案
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