Question

12．如图，点E、G分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，连接AE、AG分别交对角线BD于点P、Q．若∠EAG=45°，BQ=4，PD=3，则正方形ABCD的边长为（　　）

• A． 6$\sqrt{2}$
• B． 7
• C． 7$\sqrt{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 长CB到F，使BF=DE，连接AF，在AF截取AH=AP，连接HQ，根据正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠4=∠5=45°，∠BAD=∠ADE=∠ABF=90°，根据全等三角形的判定求出Rt△ABF≌Rt△ADE，△PAQ≌△HAQ，△DAP≌△BAH，求出BH=DP=3，PQ=HQ，根据勾股定理求出HQ，求出BD，即可求出答案．

解答 解：如图，延长CB到F，使BF=DE，连接AF，在AF截取AH=AP，连接HQ，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠4=∠5=45°，∠BAD=∠ADE=∠ABF=90°，
在Rt△ABF和Rt△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABF=∠ADE}\\{BF=DE}\end{array}\right.$
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（SAS），
∴∠1=∠2，
∴∠GAF=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAG，
在△PAQ和△HAQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AH}\\{∠PAQ=∠HAQ}\\{AQ=AQ}\end{array}\right.$
∴△PAQ≌△HAQ（SAS），
∴PQ=HQ，
在△DAP和△BAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠1=∠2}\\{AP=AH}\end{array}\right.$，
∴△DAP≌△BAH（SAS），
∴∠6=∠4=45°，DP=BH=3，
∴∠QBH=∠6+∠5=∠4+∠5=90°
∴BH²+BQ²=3²+4²=HQ²=PQ²，
∴PQ=HQ=5，
∴BD=3+5+4=12，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=6$\sqrt{2}$，
故选A．

点评 此题考查正方形的性质以及三角形全等的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．