Question

8．如图，折叠矩形，使AD边与对角线BD重合，折痕是DG，点A的对应点是E，若AB=2，BC=1，求AG．

Answer 1

分析 已知AB=2，BC=1，可知AD=BC=1，在Rt△ABD中用勾股定理求BD；设AG=x，由折叠的性质可知，GH=x，BH=BD-DH=BD-AD=$\sqrt{5}$-1，BG=2-x，在Rt△BGH中，用勾股定理列方程求x即可．

解答 解：根据题意，AB=2，AD=BC=1，
∴在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$．
由折叠可知：△AGD≌△EGD，
∴AD=DE=1，设AG的长为x，EG=AG=x，BG=2-x，BE=$\sqrt{5}$-1，
在Rt△BGE中，由勾股定理得BG²=BE²+EG²，
（2-x）²=（$\sqrt{5}$-1）²+x²，
4-4x+x²=5-2$\sqrt{5}$+1+x²，
解得x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
即AG的长为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，利用折叠性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分，是解题的关键．