题目内容

在△ABC中，CD为高，且AD=2，BD=8，如果CD=4，那么∠ACB的平分线CE=________．

$\text{[math]}$ 或4 $\text{[math]}$
分析：利用勾股定理列式求出AC、BC再根据三角形的角平分线分对边所成的两条线段的比等于两邻边的比求出AE：BE，然后求出AE，再分∠A是锐角和钝角两种情况讨论求出DE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．
解答：

解：∵在Rt△ACD中，AC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
在Rt△BCD中，BC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴AE：BE=AC：BC=2 $\text{[math]}$ ：4 $\text{[math]}$ =1：2，
①如图1，∠A是锐角时，AB=AD+BD=2+8=10，
∴AE= $\text{[math]}$ ×10= $\text{[math]}$ ，
DE=AE-AD= $\text{[math]}$ -2= $\text{[math]}$ ，
在Rt△CDE中，CE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
②如图2，∠A是钝角时，AB=BD-AD=8-2=6，
∴AE= $\text{[math]}$ ×6=2，
DE=AE+AD=2+2=4，
在Rt△CDE中，CE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，
综上所述，CE的长是 $\text{[math]}$ 或4 $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ 或4 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了勾股定理，三角形角平分线的性质，利用性质求出AE与BE的比值是解题的关键，难点在于要分情况讨论．注：三角形的角平分线的性质在很多教材已经删掉，本题只适合少数地区使用．