Question

   

如图11，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点（点P与F、G不重合），作PQ∥y轴与抛物线交于点Q．

（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；

（2）判断△BDC的形状，并给出证明；当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点P的坐标；

（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：

（1）B（-1，0）E（0，4）C（4，0）设解析式是y=ax²+bx+c

可得解得

 ∴y=-x²+3x+4

（2）△BDC是直角三角形

∵BD²=BO²+DO²=5，DC²=DO²+CO²=20，BC²=（BO+CO）²=25
∴BD²+DC²=BC²

∴△BDC是Rt△

∵点A坐标是（-2，0），点D坐标是（0，2）

∴直线AD的解析式是y=x+2

设点P坐标是（x，x+2）

当OP=OC时x²+（x+2）²=16解得（，舍去）此时点P（）

当PC=OC时（x+2）²+（4-x）²=16方程无解,故不存在

当PO=PC时，点P在OC的中垂线上

∴点P横坐标是2，得点P坐标是（2，4）

∴当△POC是等腰三角形时，点P坐标是（）或（2，4）

（3）点M坐标是（，点N坐标是（），∴MN=

设点P为（x，x+2）Q（x，-x²+3x+4），则PQ=-x²+2x+2

①若PQNM是菱形，则PQ=MN，可得x1=0.5，x2=1.5

当x2=1.5时，点P与点M重合；当x1=0.5时，可求得PM=，此时PM≠ MN所以菱形不存在

②能成为等腰梯形，此时点P的坐标是（2.5，4.5）