Question

8．矩形ABCD，M是BC的中点，E在直线AB上，将△BME沿ME折叠，使F点刚好落在对角线BD上，直线EF交直线AD于点N．
（1）若AB=6，AE=$\frac{7}{3}$，求BC的长；
（2）延长EF交CD于点Q，求证：点Q是CD的中点；
（3）若AN=2DN，则$\frac{BC}{AB}$=2（请直接写出结果）．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质得到EM⊥BD，得到一对相似三角形，利用相似三角形的性质列比例式求解．
（2）连接MQ，CF，由折叠的性质得到BM=FM=CM，根据等边对等角得到∠CFM=∠FCM，根据直角三角形的判定得到，∠BFC=90°，因为∠MCD=90°，所以∠DFC=∠QCF，由等角对等得到CQ=QF，CQ=DQ；
（3）如图2延长EQ交BC的延长线于H，构造全等三角形，证得三角形相似，列方程求解．

解答 解：（1）如图1，∵△BME折叠后得到△FME，
∴EM⊥BD，
∴∠1+∠2=∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∵∠C=∠EBM=90°，
∴△BME∽△CDB，
∴$\frac{BM}{CD}$=$\frac{BE}{BC}$，
∵BC=2BM．
∴$\frac{BM}{CD}$=$\frac{BE}{2BM}$，
∴2BM²=CD•BE=6×$\frac{25}{3}$=50，
∴BC=10；

（2）如图1，连接MQ，CF，
∴BM=FM=CM，
∴∠CFM=∠FCM，FM=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠BFC=90°，
∵∠MCD=90°，
∴∠DFC=∠QCF，
∴CQ=QF，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠EFB=∠DFQ，
∴∠FDQ=∠DFQ，
∴DF=DQ，∴CQ=DQ，
∴点Q是CD的中点；

（3）如图2延长EQ交BC的延长线于H，
由（2）证得DQ=CQ，
在△NDQ与△HCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADQ=∠QCH=90°}\\{∠NQD=∠CQH}\\{DG=CQ}\end{array}\right.$，
∴△NQD≌△HCQ，
∴CH=DH，∠H=∠DNQ，
∴∠H=∠ANE，
∵DQ∥AB，
∴△ANE∽△QDN，
∴$\frac{AE}{DQ}$=$\frac{AN}{DN}$=2，
∴AE=2DQ，
∵AB=CD=2DQ，
∴AB=AE，
∵∠MFQ=∠EAN=90°，
∴△ANE～△HFM，
∴$\frac{AE}{FM}$=$\frac{AN}{HF}$，
∵FH=$\sqrt{{MH}^{2}{-MF}^{2}}$=$\frac{2}{3}$BC，
∵AE=AB，FM=$\frac{1}{2}$BC，AN=$\frac{2}{3}$BC，
∴$\frac{\frac{1}{2}BC}{AB}$=$\frac{\frac{2}{3}BC}{\frac{2}{3}BC}$=1，
∴$\frac{BC}{AB}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．