题目内容
如图，已知AM是△ABC的BC边上的中线，证明：AB2+AC2=2（AM2+MC2）．考点：勾股定理
专题：证明题
分析：过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理得出AB2+AC2=2AM2-2DM2+BD2+CD2，进而由BD2=MC2+2MC•DM+DM2，CD2=MC2-2MC•DM+DM2，求出即可．
解答：
解：过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①，
在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2②，
由①+②得：AB2+AC2=2AD2+BD2+CD2，
在Rt△ADM中，AD2=AM2-DM2，
则AB2+AC2=2AM2-2DM2+BD2+CD2，
∵AM是△ABC的BC边上的中线，
∴BM=MC，
∴BD2=（BM+DM）2=（MC+DM）2=MC2+2MC•DM+DM2，
CD2=（MC-DM）2=MC2-2MC•DM+DM2，
∴AB2+AC2=2AM2-2DM2+MC2+2MC•DM+DM2+MC2-2MC•DM+DM2，
∴AB2+AC2=2AM2+2MC2=2（AM2+MC2）．
解：过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①，
在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2②，
由①+②得：AB2+AC2=2AD2+BD2+CD2，
在Rt△ADM中，AD2=AM2-DM2，
则AB2+AC2=2AM2-2DM2+BD2+CD2，
∵AM是△ABC的BC边上的中线，
∴BM=MC，
∴BD2=（BM+DM）2=（MC+DM）2=MC2+2MC•DM+DM2，
CD2=（MC-DM）2=MC2-2MC•DM+DM2，
∴AB2+AC2=2AM2-2DM2+MC2+2MC•DM+DM2+MC2-2MC•DM+DM2，
∴AB2+AC2=2AM2+2MC2=2（AM2+MC2）．
点评：此题主要考查了勾股定理，根据题意构造出直角三角形进而转化线段有关的等式是解题关键．
练习册系列答案
寒假学与练系列答案
相关题目
在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，D在AB延长线上，且∠DCB=∠A，BD：CD=1：2，AE=