题目内容
16．如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG，易得BG=AE且BG⊥AE．
（1）如图②，将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），试猜想线段BG和AE的数量关系和位置关系，并说明理由．
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），
①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图③证明你的结论；
②若BC=DE=6，当AE取最大值时，求AF的值．
分析 （1）在Rt△BDG与Rt△EDA；根据边角边定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；
（2）连接AD，根据直角三角形与正方形的性质可得Rt△BDG≌Rt△EDA；进而可得BG=AE；
（3）根据（2）的结论，求BG的最大值，分析可得此时F的位置，由勾股定理可得答案．
解答 解：（1）连接AD．如图1，
∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．
∴∠ADB=90°，且BD=AD．
∵∠BDG=∠ADB-∠ADG=90°-∠ADG=∠ADE，DG=DE．
∴△BDG≌△ADE，
∴BG=AE；
∴∠DEA=∠DGB，
∵∠DEA+∠DNE=90°，∠DNE=∠MNG，
∴∠MNG+DGB=90°，
AE⊥BG；
（2）成立；
连接AD，
∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°，
∵EFGD为正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE，
△BDG和△AED中，
BD=AD
∠BDG=∠ADE
GD=ED
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE；
∠AED=∠BGD，
∴∠BGD+DMG=90°，∠DMG=∠EMN
∴∠EMN+∠AED=90°，
∴BG⊥AE；
②∵BG=AE，
∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．
如图2，当旋转角为270°时，BG=AE．
∵BC=DE=EF=6，
∴BG=3+6=9．
∴AE=9．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得，AF=$\sqrt{{AE}^{2}{+EF}^{2}}$=$\sqrt{81+36}$=3$\sqrt{13}$
点评 本题考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
互动英语系列答案
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