Question

已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC并延长，交PB的延长线于D，连结OP，CB．
（1）求证：OP∥CB；
（2）若PA=6，DB：DC=2：1，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）证明：连结OB，如图，根据切线长定理得到PA=PB，加上OA=OB，则可判定OP垂直平分AB，再根据圆周角定理，由AC为直径得到∠ABC=90°，则AB⊥BC，所以OP∥BC；
（2）根据平行线分线段成比例定理，由BC∥OP得到

DB

BP

=

DC

OC

，利用比例性质得

BD

DC

=

BP

OC

，利用PB=PA=6，DB：DC=2：1，即可计算出OC的长．

解答：（1）证明：连结OB，如图，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴PA=PB，
∵OA=OB，
∴OP垂直平分AB，
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴OP∥BC；
（2）解：∵BC∥OP，
∴

DB

BP

=

DC

OC

，即

BD

DC

=

BP

OC

，
∵PB=PA=6，DB：DC=2：1，
∴

6

OC

=2，
∴OC=3，
即⊙O的半径为3．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行线分线段成比例定理．