Question

14．如图，直线y=kx+b与x轴y轴分别交于点E（-8，0），F（0，6），点A的坐标为（-6，0）
（1）求直线EF的解析式；
（2）若点P（x，y）是第二象限内直线EF上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：当△OPA的面积为$\frac{27}{8}$，求P点坐标．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法直接求出直线解析式；
（2）先求出OA，表示出PD，用三角形面积公式求解即可；
（3）利用（2）得到的函数关系式直接代入S值，求出x即可．

解答 解：（1）∵点E（-8，0），F（0，6）在直线y=kx+b上
∴$\left\{\begin{array}{l}-8k+b=0\\ 0•k+b=6\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{3}{4}\\ b=6\end{array}\right.$，
∴直线y=kx+b的解析式为$y=\frac{3}{4}x+6$，
（2）如图，

设点P的坐标为（x，y），并作PD⊥x轴于点D，
∵点P（x，y）在直线解析式为$y=\frac{3}{4}x+6$，
∴PD=$\frac{3}{4}$x+6
∵点A的坐标为（-6，0）
∴OA=6，
∴${S_{△OPA}}=\frac{1}{2}×OA×PD$=$\frac{1}{2}×6×（\frac{3}{4}x+6）$=$\frac{9}{4}x+18$（-8＜x＜0），
（3）由（2）有，S_△OPA=$\frac{9}{4}$x+18，
当△OPA的面积为$\frac{27}{8}$，
∴$\frac{9}{4}x+18=\frac{27}{8}$，
解得$x=-\frac{13}{2}$，
∴P点坐标为$（-\frac{13}{2}，\frac{9}{8}）$．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，解本题的关键是求出直线EF解析式．