Question

9．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，以AB、AD为邻边作?ABCD，∠C=45°．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4cm，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）连接半径OD，证明∠ODC=90°即可，根据平行四边形的对角相等可知：∠A=∠C=45°，由同圆的半径相等和等边对等角，则∠ODA=∠A=45°，所以∠AOD=90°，再由平行线的性质得出结论；
（2）可以利用平行四边形的面积-空白部分的面积，而空白部分是由直角三角形与90°的扇形组成．

解答 解：（1）直线CD与⊙O相切，理由是：
连接OD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，CD∥AB，
∴∠CDO=∠AOD，
∵∠C=45°，OA=OD，
∴∠ODA=∠A=45°，
∴∠AOD=90°，
∴∠CDO=90°，
∵点D是半径OD的外端，
∴CD与⊙O相切；
（2）由图形得：S_阴影=S_{平行四边形ABCD}-S_△AOD-S_扇形OBD，
=4×8-$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{90π×{4}^{2}}{360}$，
=24-4π，
答：图中阴影部分的面积为（24-4π）cm²．

点评 本题考查了切线的判定、平行四边形的性质、扇形的面积，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点D时，常连接过该公共点的半径OD，证明该半径OD垂直于这条直线DC，同时要熟记扇形的面积公式：S=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$（n为圆心角，R为圆的半径）．