Question

10£®¹Û²ì²¢ÑéÖ¤ÏÂÁеÈʽ£º
1³+2³=£¨1+2£©²=9£¬
1³+2³+3³=£¨1+2+3£©²=36£¬
1³+2³+3³+4³=£¨1+2+3+4£©²=100£¬
£¨1£©ÐøдµÈʽ£º1³+2³+3³+4³+5³=225£»£¨Ð´³ö×îºó½á¹û£©
£¨2£©ÎÒÃÇÒѾ­ÖªµÀ1+2+3+¡­+n=$\frac{1}{2}$n£¨n+1£©£¬¸ù¾ÝÉÏÊöµÈʽÖÐËùÌåÏֵĹæÂÉ£¬²ÂÏë½áÂÛ£º1³+2³+3³+¡­+£¨n-1£©³+n³=$\frac{1}{4}$n²£¨n+1£©²£»£¨½á¹ûÓÃÒòʽ³Ë»ý±íʾ£©
£¨3£©ÀûÓã¨2£©Öеõ½µÄ½áÂÛ¼ÆË㣺
¢Ù3³+6³+9³+¡­+57³+60³
¢Ú1³+3³+5³+¡­+£¨2n-1£©³
£¨4£©ÊÔ¶Ô£¨2£©Öеõ½µÄ½áÂÛ½øÐÐÖ¤Ã÷£®

Answer 1

·ÖÎö ¸ù¾ÝÌâÒâ¸ø³öµÄ¹æÂɼ´¿ÉÇó½â£®

½â´ð ½â£º£¨1£©£¨1+2+3+4+5£©²=225            
£¨2£©Ô­Ê½=[$\frac{1}{2}$n£¨n+1£©]²=$\frac{1}{4}$n²£¨n+1£©²
£¨3£©¢Ùԭʽ=£¨3¡Á1£©³+£¨3¡Á2£©³+£¨3¡Á3£©³+¡­+£¨3¡Á20£©³
=27¡Á1³+27¡Á2³+27¡Á3³+¡­+27¡Á20³
=27£¨1³+2³+3³+¡­+20³£©
=27¡Á$\frac{1}{4}$¡Á20²¡Á21²
=27¡Á44100
=1190700
¢Úԭʽ=[1³+2³+3³+¡­+£¨2n£©³]-[2³+4³+6³+¡­+£¨2n£©³]
=$\frac{1}{4}$£¨2n£©²£¨2n+1£©²-8£¨1³+2³+3³¡­+n³£©
=$\frac{1}{4}$¡Á4n²£¨2n+1£©²-8¡Á$\frac{1}{4}$¡Án²¡Á£¨n+1£©²
=n²£¨2n+1£©²-2n²£¨n+1£©²
=n²£¨2n²-1£©
=2n⁴-n²
£¨4£©¡ß£¨n+1£©³=n³+3n²+3n+1
¡à£¨n+1£©³-n³=3n²+3n+1
¡àn³-£¨n-1£©³=3£¨n-1£©²+3£¨n-1£©+1
¡­
¡à3³-2³=3¡Á2²+3¡Á2+1£¬
¡à2³-1³=3¡Á1²+3¡Á1+1
ÉÏÊön¸öµÈʽÏà¼Ó£¬µÃ
£¨n+1£©³-1³=3£¨1²+2²+¡­+n²£©+3£¨1+2+¡­+n£©+n
¡à3£¨1²+2²+¡­+n²£©=£¨n+1£©³-1-3£¨1+2+¡­+n£©-n
=£¨n+1£©³-3¡Á$\frac{n£¨n+1£©}{2}$-£¨n+1£©
=£¨n+1£©[£¨n+1£©²-$\frac{3}{2}$n-1]
=£¨n+1£©£¨n²+$\frac{1}{2}$n£©
¡à1²+2²+¡­+n²=$\frac{1}{6}$n£¨n+1£©£¨2n+1£©
¡ß£¨n+1£©⁴=n⁴+4n³+6n²+4n+1£¬
¡à£¨n+1£©⁴-n⁴=4n³+6n²+4n+1£¬
¡àn⁴-£¨n-1£©⁴=4£¨n-1£©³+6£¨n-1£©²+4£¨n-1£©+1£¬
¡­
3⁴-2⁴=4¡Á2³+6¡Á2²+4¡Á2+1
2⁴-1⁴=4¡Á1³+6¡Á1²+4¡Á1+1
ÉÏÊön¸öµÈʽÏà¼Ó£¬µÃ
£¨n+1£©⁴-n⁴=4£¨1³+2³+¡­+n³£©+6£¨1²+2²+¡­+n²£©+4£¨1+2+¡­+n£©+n£¬
¡à4£¨1³+2³+¡­+n³£©=£¨n+1£©⁴-1-6£¨1²+2²+¡­+n²£©-4£¨1+2+¡­+n£©-n
=£¨n+1£©⁴-6¡Á$\frac{1}{6}$n£¨n+1£©£¨2n+1£©-4¡Á$\frac{n£¨n+1£©}{2}$-£¨n+1£©
=£¨n+1£©[£¨n+1£©³-n£¨2n+1£©-2n-1]
=£¨n+1£©£¨n³+n²£©
¡à1³+2³+¡­+n³=$\frac{1}{4}$n²£¨n+1£©²
¹Ê´ð°¸Îª£¨1£©225£»£¨2£©$\frac{1}{4}$n²£¨n+1£©²

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÒòʽ·Ö½âÒÔ¼°Êý×Ö¹æÂÉ£¬Éæ¼°Õûʽ»ìºÏÔËË㣬ÓÐÀíÊýÔËËãµÈ֪ʶ£¬×ۺϳ̶Ƚϸߣ®