题目内容
如图，在8×8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，AC与网格上的直线相交于点M．（1）填空：AC=
（2）求∠ACB的值和tan∠1的值；
（3）判断△CAB和△DEF是否相似？并说明理由．
考点：相似三角形的判定,勾股定理,锐角三角函数的定义
专题：几何图形问题
分析：（1）根据勾股定理来求AC、AB的长度；
（2）利用勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义来解题；
（3）由“三边法”法来证它们相似．
（2）利用勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义来解题；
（3）由“三边法”法来证它们相似．
解答：解：（1）如图，由勾股定理，得
AC=
=2
．
AB=
=2
故答案是：2
，2
；
（2）如图所示，BC=
=2
．
又由（1）知，AC=2
，AB=2
，
∴AC2+BC2=AB2=40，
∴∠ACB=90°．
tan∠1=
=
．
综上所述，∠ACB的值是90°和tan∠1的值是
；
（3）△CAB和△DEF相似．理由如下：
如图，DE=DF=
=
，EF=
=
．
则
=
=
=2，
所以△CAB∽△DEF．
解：（1）如图，由勾股定理，得AC=
| 22+42 |
| 5 |
AB=
| 22+62 |
| 10 |
故答案是：2
| 5 |
| 10 |
（2）如图所示，BC=
| 22+42 |
| 5 |
又由（1）知，AC=2
| 5 |
| 10 |
∴AC2+BC2=AB2=40，
∴∠ACB=90°．
tan∠1=
| 2 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
综上所述，∠ACB的值是90°和tan∠1的值是
| 1 |
| 2 |
（3）△CAB和△DEF相似．理由如下：
如图，DE=DF=
| 12+22 |
| 5 |
| 12+32 |
| 10 |
则
| AC |
| ED |
| BC |
| FD |
| AB |
| EF |
所以△CAB∽△DEF．
点评：本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．
练习册系列答案
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