Question

15．已知二次函数y=-x²+bx+c+1，
①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；  
②若c=-$\frac{1}{4}$b²-2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？
③若二次函数的图象与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足$\frac{DE}{EF}$=$\frac{1}{3}$，求二次函数的表达式．

Answer 1

分析 ①二次函数y=-x²+bx+c+1的对称轴为x=$\frac{b}{2}$，即可得出答案；
②二次函数y=-x²+bx+c+1的顶点坐标为（$\frac{b}{2}$，$\frac{4（c+1）+{b}^{2}}{4}$），y由二次函数的图象与x轴相切且c=$\frac{1}{4}$b²-2b，得出方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4（c+1）+{b}^{2}}{4}=0}\\{c=-\frac{1}{4}{b}^{2}-2b}\end{array}\right.$，求出b即可；
③由圆周角定理得出∠AMB=90°，证出∠OMA=∠OBM，得出△OAM∽△OMB，得出OM²=OA•OB，由二次函数的图象与x轴的交点和根与系数关系得出OA=-x₁，OB=x₂，x₁+x₂，=b，x₁•x₂=-（c+1），得出方程（c+1）²=c+1，得出c=0，OM=1，证明△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，得出$\frac{DE}{OM}=\frac{BD}{OB}$，$\frac{OM}{DF}=\frac{OA}{AD}$，得出OB=4OA，即x₂=-4x₁，由x₁•x₂=-（c+1）=-1，得出方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}•{x}_{2}=-1}\\{{x}_{2}=-4{x}_{1}}\end{array}\right.$，解方程组求出b的值即可．

解答 解：①二次函数y=-x²+bx+c+1的对称轴为x=$\frac{b}{2}$，
当b=1时，$\frac{b}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x=$\frac{1}{2}$．
②二次函数y=-x²+bx+c+1的顶点坐标为（$\frac{b}{2}$，$\frac{4（c+1）+{b}^{2}}{4}$），
∵二次函数的图象与x轴相切且c=-$\frac{1}{4}$b²-2b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4（c+1）+{b}^{2}}{4}=0}\\{c=-\frac{1}{4}{b}^{2}-2b}\end{array}\right.$，解得：b=$\frac{1}{2}$，
∴b为$\frac{1}{2}$，二次函数的图象与x轴相切．
③∵AB是半圆的直径，
∴∠AMB=90°，
∴∠OAM+∠OBM=90°，
∵∠AOM=∠MOB=90°，
∴∠OAM+∠OMA=90°，
∴∠OMA=∠OBM，
∴△OAM∽△OMB，
∴$\frac{OM}{OB}=\frac{OA}{OM}$，
∴OM²=OA•OB，
∵二次函数的图象与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），
∴OA=-x₁，OB=x₂，x₁+x₂，=b，x₁•x₂=-（c+1），
∵OM=c+1，
∴（c+1）²=c+1，
解得：c=0或c=-1（舍去），
∴c=0，OM=1，
∵二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足$\frac{DE}{EF}$=$\frac{1}{3}$，
∴AD=BD，DF=4DE，
DF∥OM，
∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，
∴$\frac{DE}{OM}=\frac{BD}{OB}$，$\frac{OM}{DF}=\frac{OA}{AD}$，
∴DE=$\frac{BD}{OB}$，DF=$\frac{AD}{OA}$，
∴$\frac{AD}{OA}=\frac{BD}{OB}$×4，
∴OB=4OA，即x₂=-4x₁，
∵x₁•x₂=-（c+1）=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}•{x}_{2}=-1}\\{{x}_{2}=-4{x}_{1}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{1}{2}}\\{{x}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴b=-$\frac{1}{2}$+2=$\frac{3}{2}$，
∴二次函数的表达式为y=-x²+$\frac{3}{2}$x+1．

点评 本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的性质、二次函数的图象与x轴的交点、顶点坐标、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、根与系数是关系等知识；本题综合性强，有一定难度．