Question

4．如图，点C是AB上不与点A、B重合的任意一点，AB=8cn，分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形（△AMC和△CNB），则当BC=4cm时，两个等腰直角三角形的面积和最小．

Answer 1

分析 作MD⊥AC，NE⊥BC，设AC=xcm，则BC=（8-x）cm，将两三角形面积之和表示为S=$\frac{1}{2}$x•$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$•（8-x）•$\frac{1}{2}$（8-x），转化为二次函数的最值问题解答．

解答 解：作MD⊥AC，NE⊥BC，
∵△AMC和△CNB是等腰直角三角形，
∴DC=MD，EB=NE，
∴设AC=xcm，则BC=（8-x）cm，
∴两三角形面积之和为S=$\frac{1}{2}$•x•$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$•（8-x）•$\frac{1}{2}$（8-x）
=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$（64+x²-16x）
=$\frac{1}{2}$x²+16+$\frac{1}{2}$x²-4x
=$\frac{1}{2}$x²-4x+16
当AC=-$\frac{-4}{2×\frac{1}{2}}$=4，
即BC=8-4=4cm时，两个等腰三角形的面积最小．
故答案为：4．

点评 本题考查了等腰直角三角形和二次函数的最值，将三角形的面积问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键．