Question

6．已知方程x²-x-1=0的两根分别是x₁、x₂，不解方程求：
（1）（x₁²-2）（x₂²-2）；
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{1}{2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$；
（1）把代数式变形得到原式=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4，然后利用整体代入的方法计算；
（2）利用完全平方公式把原式变形为$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：∵方程x²-x-1=0的两根分别是x₁、x₂，
∴x₁+x₂=$\frac{1}{2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$，
（1）（x₁²-2）（x₂²-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$+4=3；
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{4}+1}{-\frac{1}{2}}$=-$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．