Question

17．如图，E为正方形ABCD边AB上的一点，且AD=3，AE=1，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，连接并延长CF与DE延长线相交于点G，连接BG，延长EF交BC于H，过点H作HI∥BG，则HI的长为$\frac{3}{10}$$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 建立如图坐标系，作FM⊥AB于M，延长MF交CD于N，连接DH．只要证明HI是△CBG的中位线，求出BG的长即可解决问题．

解答 解：建立如图坐标系，作FM⊥AB于M，延长MF交CD于N，连接DH．

易证△DEA≌△DEF，△DHF≌△DHC，
∴AE=EF=1，FH=HC，设FH=HC=x，
在Rt△BEH中，∵EH²=EB²+BH²，
∴（x+1）²=2²+（3-x）²，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴BH=CH，
由△FDN∽△EHB，
∴$\frac{DF}{EH}$=$\frac{FN}{EB}$=$\frac{DN}{BH}$，
∴$\frac{3}{\frac{5}{2}}$=$\frac{FN}{2}$=$\frac{DN}{\frac{3}{2}}$，
∴DN=$\frac{9}{5}$，FN=$\frac{12}{5}$，
∴F（$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$），
∴直线CF的解析式为y=-2x+6，直线DE的解析式为y=3x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{y=-2x+6}\end{array}\right.$可得G（$\frac{6}{5}$，$\frac{18}{5}$），
∴BG=$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$，
∵IH∥BG，CH=BH，
∴CI=GI，
∴GI=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{3}{10}$$\sqrt{10}$，
故答案为$\frac{3}{10}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、三角形的中位线定理、一次函数的应用，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考填空题中的压轴题．