Question

如图，折叠的一边AD，使点D落在BC边的点F处，AE为折痕．
（1）求证：△AFB∽△FEC；
（2）若折痕AE=，且tan∠EFC=，求矩形ABCD的周长．

Answer 1

（1）证明：∵∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
又∵∠AFB+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
又∠B=∠C=90°，
∴△AFB∽△FEC；

（2）Rt△FEC中，tan∠EFC=，
∴，
设CE=3k，则CF=4k，由勾股定理得EF=DE=5k．
∴DC=8k，
又∵ABCD是矩形，
∴AB=8k，
Rt△AFB中，∠BAF=∠EFC，
∵tan∠BAF==，
∴BF=6k，BC=10k
在Rt△AFE中由勾股定理得AE=5k，又AE=，
∴k=1，
∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（8k+10k）=36．
分析：（1）由四边形BCD是矩形，可得∠AFE=∠D=90°，又由同角的余角相等，可得∠BAF=∠EFC，即可证得：△AFB∽△FEC；
（2）由Rt△FEC中，tan∠EFC=，可求得，则可设CE=3k，则CF=4k，由勾股定理得EF=DE=5k．继而求得BF与BC，则可求得k的值，由矩形ABCD的周长=2（AB+BC）求得结果．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．