Question

5．如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（-1，0），点C的坐标是（1，0），点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，过D作DM⊥AC于点M．
（1）求证：∠ABD=∠ACD．
（2）若点E在BA延长线上，求证：AD平分∠CAE．
（3）当A点运动时，$\frac{AC-AB}{AM}$的值是否发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，∠ABD+∠CBD+∠ACB=180-∠BAC=180-2∠BDO①；连接CD，证出BD=CD，在△BCD中，∠ACD+∠ACB+∠CBD=180-2∠BDO②；由一样会②即可得出结论；
（2）过D作DN⊥BE于N，由AAS证明△BDN≌△CDM，得出∵DM⊥AC，DM=DN，即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质得出BN=CM；证出AN=AM；得出AC=AB=2AM，即可得出结论．

解答 （1）证明：在△ABC中，∠ABD+∠CBD+∠ACB=180-∠BAC，
∵∠BAC=2∠BDO，
∴∠ABD+∠CBD+∠ACB=180-∠BAC=180-2∠BDO①；
∵点B的坐标是（-1，0），点C的坐标是（1，0），
∴OB=OC，∵DO⊥BC，
∴BD=CD，
∴∠BDO=∠CDO，∠BDC=2∠BDO，
连接CD，在△BCD中，∠ACD+∠ACB+∠CBD=180-2∠BDO②；
①-②得：∠ABD-∠ACD=0，
∴∠ABD=∠ACD； 
（2）证明：过D作DN⊥BE于N，如图所示：
∵DM⊥AC，
∴∠DNB=∠DMC=90°，
在△BDN和△CDM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DNB=∠DMC}&{\;}\\{∠ABD=∠ACD}&{\;}\\{BD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDN≌△CDM（AAS），
∴DN=DM，
∴AD是∠CAE的角平分线，
即AD平分∠CAE；
（3）解：∵△BDN≌△CDM，
∴BN=CM；
由AD是∠CAE的角平分线，得AN=AM；
又BN=AN+AB=AM+AB；  CM=AC-AM；
∴AC=AB=2AM，
∴$\frac{AC-AB}{AM}$=2，
即$\frac{AC-AB}{AM}$的值是定值2．

点评 本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．