Question

10．如图，△ABC为等边三角形，D、E是BC、AC边上的点，且BD=CE，线段AD、BE交于F，
（1）求∠AFE的度数；
（2）若作EG⊥AD，G为垂足，且FG=3，BF=1，求AD的长；
（3）如果D、E分别在BC、CA的延长线上，且仍有BD=CE，请探究BE、AD所在直线夹的锐角的度数是否是定值，请画图说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质，证明△ABD≌△BCE，得到∠BAD=∠CBE，又∠AFE=∠ABF+∠BAD=∠ABC，所以∠AFE=60°；
（2）利用直角三角形的性质求出EB=1+6=7，根据△ABD≌△BCE，得到AD=BE，即可解答．
（3）是定值，仍为60°，证明△ABE≌△ACD，得到∠E=∠D，利用外角的性质得到∠BFD=∠E+∠EAF=∠D+∠DAC=∠ACB=60°．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°．
在△ABD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABD=∠BCE}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE．
又∵∠AFE=∠ABF+∠BAD=∠ABC
∴∠AFE=60°．
（2）∵EG⊥AD，∠AFE=60°，
∴∠FEG=30°，
∴EF=2FG=6，
∵BF=2，
∴EB=1+6=7，
∵△ABD≌△BCE，
∴AD=BE，
∴AD=7．
（3）是定值，仍为60°，如图．

∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°．
∴∠BAE=∠ACD=120°，
∵BD=CE，
∴BD-BC=CE-AC，
即CD=AE，
在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=AC}\\{∠BAC=∠ACD}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠E=∠D．
∴∠BFD=∠E+∠EAF=∠D+∠DAC=∠ACB=60°．

点评 此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，利用了等量代换及转化的思想，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．