Question

6．如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，D为BC的中点，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若AB=13，BC=10，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连结AD，如图，由圆周角定理得到∠ADB=90°，则AD⊥BC，加上BD=CD，即AD垂直平分BC，所以AB=AC；
（2）连结OD，如图，先证明OD为△ABC的中位线，根据三角形中位线性质得OD∥AC，而DE⊥AC，所以OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE是⊙O的切线；
（3）易得BD=$\frac{1}{2}$BC=5，AC=AB=13，接着证明△CDE∽△CAD，然后根据相似比可计算出CE．

解答 （1）证明：连结AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴AB=AC；
（2）证明：连结OD，如图，
∵OA=OB，DB=DC，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（3）解：BD=$\frac{1}{2}$BC=5，AC=AB=13，
∵∠DCE=∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴$\frac{CE}{CD}$=$\frac{CD}{CA}$，即$\frac{CE}{5}$=$\frac{5}{13}$，
∴CE=$\frac{25}{13}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的判定与性质．